在有限元顯式分析中，模擬工程師非常關心單元的破壞效應。在Radioss的失效模型設置中，使用者經常會使用到Johnson-Cook破壞模型，用於描述延性破壞。
首先，需要一個變數Stress triaxiality，這個變數可以很好的用於描述延性破壞。
這個變數在Radioss中的許多破壞模型中有用到，如/FAIL/JOHNSON，/FAIL/SPALLING，/FAIL/WIERZBICKI 以及 /FAIL/TAB1。尤其在/FAIL/TAB1 破壞模型中使用者可以通過曲線輸入的方式來很方便的描述Stress triaxiality這個變數。當然在/FAIL/TAB1中除了Stress triaxiality還有另一個重要的變數Lode angle。
1
Stress triaxiality (normalized mean stress)
Stress triaxiality （σ*）是一個用於描述應力狀態(有關於材料破壞應力)比較有用的變數。它的定義為:
這裡 σm 是壓力(Hydrostatic stress)
σVM 是Von Mises應力：
σ1 ,σ2 ,σ3 分別是三個方向上的主應力
Stress triaxiality 在研究材料破壞方面的特性:
首先，當材料在單軸拉伸時Stress triaxiality是常數1/3，可以通過上面的公式計算得出，如：
在單軸拉伸時:那麼σ2=σ3=0
代入上面所示的公式就可以得出：
然後，在Radioss中的Johnson-Cook破壞模型，存在關於材料破壞應變（εf）和Stress triaxiality（σ*）的一個關係。也就是在不考慮應變率和溫度的影響的情況下，僅有參數D1，D2，D3 需要使用者確定。如何確定？
需要參照下面表格，選取三種應力狀態的實驗（單軸壓縮，純剪切，單軸拉伸等物理實驗），檢測材料實驗的破壞現象，記錄下破壞時的應變值（εf），這樣就能求解方程組（下圖）得到（可通過Excel擬合曲線來求值）D1，D2，D3 這三個參數，它們用於描述實驗材料的破壞的屬性。
如果做更多的實驗，用戶就可以用更多的點來繪出更精確的關於應變值（εf）和Stress triaxiality（σ*）的曲線 （見下麵的曲線圖）。
上圖中的 εf - σ* 曲線用於描述材料的破壞。當材料的應力應變狀態處在曲線下方表示沒有破壞，一旦破壞應變累積進而到了這條曲線上方，那麼材料中就出現破壞了。
這裡需考慮應力狀態，以上圖為例，當材料在單軸壓縮時應變為0.3（豎軸）時材料沒有破壞，而當材料在單軸拉伸時應變同樣為0.3（豎軸）時材料破壞了。所以，不是單純看應變值的大小，而是通過結合Stress triaxiality來看每時每刻的材料應力狀態，進而判定材料的失效。
在/FAIL/JOHNSON失效模型中可以通過輸入參數D1, D2和D3來描述材料的破壞屬性。但是，有些情況下僅用這三個參數還不能完全很好地描寫材料的實際破壞的情況。比如在做了很多物理實驗後得到下面 εf - σ* 曲線（出現局部最大值）這就很難再只用D1, D2和D3來描述了。
這時Radioss就提供另外一種可直接輸入曲線的形式來描述的破壞的/FAIL/TAB1失效模型。用戶可以通過查看Radioss的幫助手冊Reference Guide用於確認輸入曲線的位置，尤其説明手冊裡面有一個例子可以很直觀地看到如何在Table中輸入失效曲線。
在這個/FAIL/TAB1這個失效模型中還引入了另外一個描寫材料破壞的變數的參數：
Lode Angle（羅德角）。
2
Lode Angle（羅德角）
通常在/FAIL/JOHNSON中用D1, D2和D3 來描述殼單元的破壞。對於實體單元，它也可以描述失效效應但是畢竟有限制。它僅可很好的描述Lode Angle為0的狀態 （即平面應變）時的單元的破壞。有了Lode Angle 這個變數使用者就可以很全面的描述實體單元的材料破壞。這個Lode Angle 可以在/FAIL/TAB1種輸入。
在/FAIL/TAB1中輸入的參數是Lode Angle parameter ξ 。其與Lode Angle θ有這樣的關係：
ξ=cos(3θ)
在解釋這個Lode Angle θ前，需要介紹下應力狀態P，它可以用三個主應力(σ1,σ2,σ3)來描述。
Hydrostatic Stress
—壓力，或稱第一應力不變數 first stress invariant
Deviatoric Stress
—用第二第三應力不變數 second and third stress invariants
這樣的應力狀態的表達方式的好處就是這三個應力不變數是對於某一確定的應力狀態來說是常量，它們並不隨所用坐標系統的不同而不同。所以它們在研究材料破壞時經常會被用到。
Hydrostatic Stress 在下圖中就是 OO’：
（OO’所在的軸稱為Hydrostatic axis，在這軸上σ1=σ2=σ3）
I1 第一應力不變數 I1=σ1+σ2+σ3.
O’和P所在的平面是Deviatoric plane. O’P 距離是:
如果僅有O’P這個距離還不能精確定位到P點。還需要引入一個角度。這個角度就是Lode Angle。
需再來從Hydrostatic axis這個軸方向上俯視這個Deviatoric plane（如下圖）。P點的應力就是由O’P和θ角在這個平面上唯一確定了。並且，發現Lode Angle θ 還有這樣的特性：
這個 θ 總是在 0≤θ≤π/3範圍裡變化。
當 θ=0°表示在受拉狀態，
當 θ=60°表示在受壓狀態,
當 θ=30°表示在受剪狀態。
好了，現在來闡述下 Lode Angle parameter ξ ， 它不同於 θ 是一個無量綱。他的取值區間為(-1≤ ξ ≤1)
這裡 J2 和 J3 就是第二，第三應力不變數：
J2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1
J3=σ1σ2σ3
現在用上面說的stress triaxiality σ* 和Lode angle parameter ξ 就可以完整的描述出材料破壞的面, 凡是應變在這個面以上的都表示材料進入了破壞。
當然使用者需要根據上面所講Stress Triaxiality 和Lode angle parameter 的特性做很多材料實驗（見下圖）來確定這個失效面。而這些資料都可以在Radioss的/FAIL/TAB1中通過table1_ID來輸入 εf - σ*- ξ 關係。具體如何輸入可以參見 Radioss幫助手冊Reference Guide工具書上關於/FAIL/TAB1的例子。
Ranges of stress state attainable by various types of tests [1]
參考：
[1] Wierzbicki, Tomasz, "Addendum to the Research Proposal on "Fracture of Advanced High Strength Steels.", page 19, January 2007
留言列表
