上一期和大家分享瞭如何在Altair Radioss™中使用橡膠超彈性材料的材料測試數據。本期我們將目光投向混凝土材料，首先還是從學習相關的理論知識開始。
往期回顧：
混凝土岩石材料
混凝土材料在Radioss中可以用LAW10、LAW21、LAW102、LAW24和LAW81來描述。這些材料模型使用Drücker–Prager降伏準則 [1]，它是一種使用壓力來判斷材料失效還是材料進入塑性的模型。
LAW10和LAW21
這兩種材料卡片非常類似，他們的區別在於壓力vs體積應變關係在LAW10中是參數輸入，而LAW21中是曲線輸入。
LAW102和LAW10
這兩類卡片也非常類似，他們之間的區別是LAW10使用Drücker–Prager屈服準則，而LAW102是通過Mohr-Coulomb參數描述Drücker–Prager屈服準則。
此外，LAW10還可以結合/EOS/COMPATION來描述混凝土的狀態方程（比如在爆炸中）。
LAW24
LAW24材料模型是從Ottosen三軸破壞面推導出的屈服面，並且建立了正交各向異性損傷模型，可以考慮高壓應力下的Cap模型。這個模型可以通過附加參數或者附加的beam單元描述鋼筋混凝土材料。
LAW81
LAW81材料模型是基於Drücker-Prager降伏準則和Cap模型的。它有一個基於Foster原理的應變硬化Cap模型，且在塑性階段可以考慮各向同性硬化。
Radioss中的這些混凝土材料模型都可以用於ALE模擬（爆炸），LAW24和LAW81也常用於拉格朗日模擬。
Drücker-Prager降伏準則
LAW10和LAW21中使用的Drücker-Prager降伏準則
在LAW10和LAW21中材料進入屈服的判斷如下：
這裡J2是應力第二不變量（也就是Von-Mises應力）。
P是靜水壓力：
I1是應力第一不變量（用於描述體積變形）
這裡使用壓力的多項式
來描述Drücker-Prager 降伏準則的材料的屈服面。
這裡多項式係數A0,A1,A2由擬合實驗數據得到。
所以對於Drücker-Prager 降伏準則為：
如果F<0，那麼：
則材料處於降伏面下的彈性階段。
如果F=0， 那麼：
則材料處於臨界的降伏面上。
如果F＞0， 那麼：
則材料超出降伏面，那麼應力將不再變大，而且始終映射回應力面。
LAW81的Drücker-Prager cap模型
在LAW81中使用Drücker-Prager Cap模型，它的屈服準則是:
這裡q是von Mises應力
而p是壓力
上圖是LAW81 帶有cap模型的屈服。這個屈服分為兩部分描述：
- 上圖中① (P≤P a )部分
即von Mises 與壓力是線性關係:q=tanΦ+c
這裡c是內摩擦力，與剪切強度屈服包絡有關。如果c=0那麼材料沒有拉伸強度。混凝土的拉伸強度一般要遠小於壓縮強度。Φ是混凝土材料內摩擦角，也就是屈服包絡線的斜率。
c和Φ也是可以用於定義Mohr–Coulomb 屈服面的。Drücker–Prager 屈服只是Mohr–Coulomb 屈服的光滑形式。
- 上圖中② (P a＜P＜P b )部分就是描述屈服面中的Cap部分。通常混凝土的屈服會隨著壓力的增大而提升，但是不能無限制提升，在壓力足夠的的時候會出現壓潰而導致屈服面下降。
那麼這個下降的過程就可以使用Cap模型描述。在LAW81中Cap模型如下描述：
那麼von-Mises應力即為:
參數P b可以在LAW81中的fct_ID Pb定義。P a由Radioss通過輸入的參數α自動計算。
P a =α·P b；0＜α＜1
P 0是降伏面上最高點，即：
當混凝土內壓力P=P b ,那麼r c (p b )=0也就是q=0·(p·tanΦ+c)，即混凝土壓潰了。
在LAW81材料卡片中輸入的參數Φ，c，p b，α用於確定Drücker–Prager屈服面。因此至少需要4個試驗數據點來擬合這些參數。
最簡單的比如單軸拉伸，單軸壓縮試驗數據可以確定線性部分參數Φ和c。至於參數p b和α可以通過一些雙軸壓縮試驗得到。
下面的示例通過經典的Kupfer [2]試驗來講解如何擬合LAW81參數。
不同載荷下的數據點描述LAW81 屈服面
對於大多數材料，如金屬，塑性應變增量可以認為是垂直於降伏面。但是如果使用這種方法的塑性應變增量用於岩石或混凝土材料，則會高估塑性體積膨脹。因此，在這些材料中通常使用非關聯塑性流動規則。
在LAW81中，塑性流動函數G定義如下：
當壓力超過p 0時,描述混凝土屈服的F函數和描述塑性流動的G函數是相同的並且滿足下面的條件：
當壓力在p 0時用降伏描述為：
而用塑性流動G描述為：
這樣參數ψ就可以求得。
LAW81混凝土材料的屈服和塑性流動。
LAW24的Drücker-Prager Cap模型
Radioss中的LAW24（CONC）是專門用於混凝土的材料模型。這裡討論一下如何理解這個材料模型卡片中的參數，以及如何通過簡單的實驗來擬合實際材料的性能。
由於LAW24是從Ottosen三軸破壞面推導出的屈服面。所以下面我們分別通過混凝土的拉伸壓縮失效來講解LAW24混凝土的屈服。
混凝土拉伸失效
在LAW24卡片中參數H t，D sup，ε max用於描述混凝土材料在拉伸時出現失效。
在最初的非常小的彈性階段中使用的彈性模量為E c。
當拉伸應力達到拉伸強度f t 後混凝土開始軟化，使用軟化切線模量H t。
最大損傷係數D sup也是非常有用的。因為它能夠模擬裂紋期間和之後的殘余剛度。
殘余剛度計算為:
當裂紋閉合時，混凝土再次變得彈性，並且損傷係數（每個方向）被保存。混凝土在拉伸中的承載能力比壓縮低得多。所以通常拉伸被認為是彈性的。
為了盡量減少損傷結束前的當前剛度，從而避免拉伸中的殘餘應力，建議選擇D sup值接近1 (默認值為0.99999)。因為很高的殘餘應力會導致在拉伸時出現非常大的單元變形，尤其在使混凝土拉伸失效的力任然存在時會發生。
可以調整D sup (以及H t )以模擬混凝土使用鋼筋等加勁加固時的力學行為。混凝土材料一旦達到總失效應變ε max就會失效。
混凝土壓縮時的降伏面
對於混凝土，降伏面是失效表面是塑性硬化帶的開始，這個塑性硬化帶是指在失效面 r f 和降伏面之間的區域。
在拉伸階段是假設屈服面和失效面是同一個的，而在壓縮階段屈服面與失效面之間成係數k(σ m，k 0 )關係，此時的屈服如下計算：
- 對於I cap =0或者1（沒有Cap）降伏面如下:
- 對於I cap =2 (有Cap)降伏面如下:
👉當r＜ k(σm，k 0 )· r f (上圖中的Elastic標註的區域),即材料處於彈性階段；
👉當r ≥ r f上圖中的Failure標註的區域), 材料失效；
👉當k(σm，k 0 )· r f＜ r＜r f (上圖中Plastic標註的區域),表示材料處於降伏面以上，但是低於失效表面，即處於塑性硬化階段。
參數ρ t是單軸拉伸時的靜水壓力失效值，ρ c是單軸壓縮時的靜水壓力失效值。
👉當σ m ≥ ρ t (即處於拉伸階段),係數k(σ m，k 0 )=1。即這個階段屈服面和失效面是一樣的，即r = r f。
👉當ρ t＞σ m＞ρ c（即在拉壓區域），則係數為：
👉剩下的區域就是σ m＜ρ c，即需要I cap選擇Cap模型，此時的係數如下計算：
- 如果I cap =0或者1 且σm ＜ρc (即在受壓區), 那麼k(σm，k0)=ky
- 如果I cap =2且在ρ c＜σ m ＜f k (受壓區域) ，那麼k(σ m，k 0 )=k y
- 如果I cap =2且在f k＜σ m ＜f 0 (Cap區域)，那麼：
k y是材料參數，且有0≤k y ≤1。當k y很高時會導致很高的屈服面。
比如，當使用I cap =2 (考慮Cap模型)，k y =0.8和k y =0.6的屈服面的如下圖顯示。在LAW24卡片中的默認值是0.5。
壓縮中的混凝土塑性流動規則
LAW24中使用非關聯的塑性流動規則，塑性流動如下計算:
I1 是應力第一不變量（即靜水壓力）。
試驗表明參數α是k 0的線性函數：
參數 α y 和 α f 適用於描述混凝土材料超過屈服而沒有達到失效階段。推薦分別使用-0.2和-0.1 。如果將 α y， α f設置為非常小的值那麼就不會有Cap區域。
混凝土的壓潰失效
混凝土壓縮的失效曲線r f可以由下面的混凝土強度決定：
3D失效包絡圖確定的最佳方法是獲取所有這些值（f c，f t，f b，f 2，S 0）的實驗數據，試驗如下圖所示。
那麼這些混凝土強度值f c，f t，f b 在平面r-σ m中可以如下表示：
I 1，J 2是應力第一第二不變量。材料超過失效面r f就失效了。
也可以在平面應力面上繪製破壞包絡特徵點：
或者以巴西試驗為例，單元都在失效包絡線處失效。
而僅是變化壓縮強度f c，那麼不同混凝土材料的包絡圖如下圖所示：
當混凝土的其他強度值f c，f t，f b，f 2，S 0不變，而僅是壓縮強度變化，那麼不同混凝土材料的包絡圖如下圖所示：
混凝土的其他強度值不變，而在LAW24中變化拉壓強度比值
那麼不同混凝土材料的包絡圖如下圖所示：
混凝土的其他強度值不變，而在LAW24中變化雙軸和單軸壓縮強度比值
那麼不同混凝土材料的包絡圖如下圖所示：
混凝土的其他強度值不變，而在LAW24中變化約束和不約束壓縮強度比值
那麼不同混凝土材料的包絡圖如下圖所示：
鋼筋混凝土
在Radioss中，有兩種不同的方法來模擬混凝土中的鋼筋。
一種方法是使用梁或桿單元，並將梁或者桿單元的節點和實體混凝土的節點形成共節點來處理。
另一種方法是使用LAW24中的鋼筋的參數和使用各向異性的單元屬性/PROP/TYPE6來定義鋼筋的方向。
α1，α2，α3在LAW24 中定義1、2、3 方向上的鋼筋橫截面面積與整個混凝土截面面積的比例。
使用鋼筋截面面積比例的方法，也就是假定每個方向上的鋼筋和混凝土均質化，使用這種方法設置的鋼筋主要用於大型結構和粗網格。否則，建議用上面第一種方法，通過桿、梁建模。
這裡σy是鋼筋的屈服應力，Et是鋼筋的塑性階段的切線模量。
Kupfer試驗擬合LAW24和LAW81材料參數
在這個示例中結合Kupfer試驗，使用Radioss的LAW24和LAW81的材料模型，用於在壓縮和拉伸載荷下對混凝土失效進行建模。
使用與實驗測試相同的約束條件的一個實體單元對10X10mm2混凝土立方體進行建模。（Radioss模型見幫助文檔）
模型採用mm, ms, g, MPa 單位制，LAW24材料參數根據文獻[1]設置如下：
其他參數可以在LAW24 中留為默認值，因為默認值代表通用混凝土材料。
相應的採用LAW81模擬混凝土的模型中，混凝土參數設置如下：
根據文獻中的試驗數據使用Altair Compose擬合了LAW81的下面這些參數：
在此示例中，除了單軸壓縮強度f c，其他強度的輸入都是用單軸壓縮強度f c歸一化，也就是相對於單軸壓縮強度f c的比例輸入的。另外混凝土常用的承載是受壓，所以習慣將應力為正的認為是壓應力，負的就是拉應力。
下面再來看一下Kupfer[2]試驗的數據：
上面的應力三軸度是靜水壓力和Von Mises應力的比例：
可以將Kupfer試驗的數據在Von Mises和壓力的圖上如下表示出來，基於這個圖我們可以用於材料數據的擬合和試驗對標。
LAW24使用Ottosen三軸破壞面推導出的屈服面，它的失效的理論值可以通過下面的公式計算得到：
那麼相應的LAW24的失效的理論值如下圖所示：
LAW81使用Drücker-Prager Cap模型根據上面的介紹我們可以得到LAW81的理論值：
- p≤p a，Von Mises應力和壓力有線性關係ptanΦ+c，所以在這個示例中失效時的Von Mises應力為σ m tan(68.35°)+5.4508.
- p a＜p ≤ p b (Cap部分)，描述失效的Cap曲線是：
因此在這個示例中Cap部分的失效時的Von Mises應力:
【這兩部分失效曲線如上圖所示】
現在通過Radioss建立相應的模型，根據Kupfer試驗中的各個載荷進行有限元仿真。兩個材料模型的仿真結果都與試驗結果吻合。
LAW24仿真結果：
LAW81的仿真結果：
上面兩個圖示中的直線是加載路線
那麼除了失效曲線我們也可以具體比對每一個試驗中的應力應變曲線。以單軸拉伸試驗T000為例。在LAW24中使用H t，D sup，ε max來描述拉伸行為。
最大值出現在應力比為0.1處，這與LAW24中設置的相吻合。下圖是單軸拉伸試驗T000中的應力應變曲線。
在復雜載荷下，對比實驗結果顯示，使用兩個Radioss中的混凝土材料模型LAW24和LAW81都可以比較好的仿真混凝土力學失效行為。對於LAW24，如果沒有可用的實驗數據，使用默認值是不錯的選擇。對於LAW81，需要設置參數Φ，c，α，p b，這樣需要至少四個實驗測試來擬合這些材料參數。
腳本下載
本文擬合腳本及例子數據下載鏈接：
https://nas.altair.com.cn:5001/fsdownload/avOmHGYOP/Radioss_Concret
參考文獻
[1] Han, DJ, and Wai-Fah Chen. "A nonuniform hardening plasticity model for concrete materials." Mechanics of materials 4, no. 3-4 (1985): 283-302.
[2] Kupfer, Helmut B., and Kurt H. Gerstle. "Behavior of concrete under biaxial stresses." Journal of the Engineering Mechanics Division 99, no. 4 (1973): 853-866.
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