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聚合物一般是由一堆長鏈的分子組成的。大多數聚合物都是以碳為基礎，所以被認為是有機化學品。

聚合物一般可以分為塑料和橡膠。根據聚合物的交聯程度由高到低有：

• 熱塑性聚合物：室溫下以玻璃態出現，加熱後固體會粘稠，多次加熱降溫不產生材料損傷
• 彈性體(elastomer)：有極端的彈性延展，加熱降溫會產生材料損傷
• 熱固性聚合物：無定型，多次加熱降溫會產生材料損傷，料損繼續加熱出現材料降解和炭化。

熱塑性聚合物和熱固性聚合物時是塑料，彈性體（elastomer）是橡膠。

橡膠材料表現的彈性與金屬表現的彈性原因有所不同。金屬的彈性是晶格中的原子位置相對微小變動表現的彈性，而橡膠材料的彈性是由於繃直長鏈過程表現的彈性。

橡膠在工業上又廣泛的應用。它具有下面的材料力學特性：

• 材料接近理想彈性，並且彈性的行為是可逆的。比如拉伸放鬆這樣一個閉合的加載循環後橡膠材料不會像塑形材料一樣留下永久的變形。
• 橡膠材料有非常強的抵抗體積變形的能力，橡膠通常可以考慮為材料不可壓縮性。
• 橡膠材料非常適用於剪切，它的剪切模量一般是金屬的5到10倍。剪切模量有與溫度有關，受熱變硬，這與金屬是正好相反。
• 橡膠材料通常是各向同性的。

橡膠的模型大致可以分為現象學和熱力統計學兩大類。現象學的典型模型有Ogden, Yeoh, Mooney-Rivlin模型，在Radioss中LAW42, 62, 69, 82, 88, 94, 95和100都是屬於這一類的。

而Arruda-Boyce 模型則是基於熱力學統計的模型，在Radioss 中LAW92 就是用Arruda-Boyce 模型的。

Ogden模型的應力應變關係是基於應變能W來描述的。應變能W由兩部分組成，一部分是應變偏量能用W (λ 1 , λ 2 , λ 3 )表示，另一部分是體積應變能用U(J)表示，它是描述體積壓縮而需要的應變能。

這裡W是應變能；λ i  是  i方向的主伸長率；J是相對體積比；α p 和μ p 是材料參數；

初始剪切模量(μ) 和體積壓縮模量 (K) 如下計算:

這裡V只是用於計算體積壓縮模量的泊鬆比。

上面描述Ogden 材料本構的應變能W 中使用了伸長率λ，它是試驗中得到的工程應變計算而來的 λ=1+ε

它由偏伸長率：

和主伸長率：

兩部分組成。

主伸長率λ i  用於描述主軸上的體積應變能U(J)（這裡J=λ1 · λ2 · λ3）。主伸長率λi = 1+ε i  ，這裡ε i  是主工程應變率。

偏伸長率

用於描述應變偏量能，偏伸長率

這裡J是相對體積比，或稱為第三應變不變量。

參數μ p 和α p 必須滿足下面的初始剪切模量的計算:

為了滿足計算穩定性Ogden的每一對這兩個參數還需要滿足: μ p  · α p >  0

(μ p ,α p )在Ogden的應變能W公式中的成對出現的參數，也可以稱為Ogden模型的階數。一對(μ 1 ,α 1 )只能描述材料線性的超彈性行為，兩對(μ 1 ,α 1 ; μ 2 ,α 2 )可以描述絕大多數的非線性的超彈性行為。通常Ogden模型可以模擬橡膠700%的變形。而三對以上的(μ p ,α p )在現實應用中用到的非常少。 

當LAW42 卡片中p=1 或LAW82 卡片中i=1 時，表示使用Ogden 一階模型(Ogden 1st Order)：

例如LAW82 中應變能即為

例如LAW42 中應變能即為

此時當α 1 =2 時就是Neo-Hookean模型，比如在LAW82卡片中，假設命名

則

由於應變第一不變量可以描寫為

Neo-Hookean 模型在考慮不可壓縮（即沒有體積應變能）時的應變能可以寫為：

所以Neo-Hookean 模型一般可以用於描述變形不大（不超過20%變形）的超彈性材料。

當LAW42 卡片中p=2 或LAW82 卡片中i=2 時表示使用Ogden 二階模型(Ogden 2nd Order)：

例如LAW42 中應變能即為：

例如LAW82 中應變能即為：

當α 1 =2， α 2 =-2時就是Mooney-Revilin模型。

所以如果用LAW42 卡片描述Mooney-Revilin 模型，即定義

在考慮材料不可壓縮時（即沒有體積應變能），那麼應變能公式為：

所以Mooney-Revilin 模型是一個簡化的非線性模型，一般可以描述變形小於90% 或小於100% 的超彈性材料。

依次類推p=1～5（i=1~n），在LAW42 中可以最多表達Ogden 五階模型。LAW82 中可以表達超過五階的Ogden 模型。不同階數用於不同精度要求的擬合。

Treloar試驗數據使用Ogden一階和二階模型的擬合[5]

基於應變能，對應超彈性材料的應力是這樣計算得到的：

在Ogden材料卡片有些需要輸入Odgen參數(α p ,μ p )的，比如LAW42, 62, 82，那麼這些(α p ,μ p )參數需要用戶事先通過擬合試驗數據（比如單軸拉伸試驗）取得。並且LAW62，LAW82中要求填入的Ogden參數與LAW42略有不同。

為了方便用戶使用，Radioss 還有很多超彈性材料卡片可以允許用戶直接將試驗中的得到的工程應力應變曲線輸入卡片，Radioss 自動擬合相應的材料參數，比如LAW69, 88。以LAW69 為例，直接使用單軸試驗數據（工程應力應變曲線）；選擇LAW_ID=1； 選擇所需的Ogden 參數對的個數N。

然後Radioss 在starter 中自動擬合的Ogden 參數。在*0000.out 輸出文件中會打印擬合的Ogden 參數：

Ogden 模型通常還會有一個Drucker Stability 使用條件。根據Drucker Stability 準則，與增量應力相關的增量功總是應該大於零。否則材料模型將不穩定。

這裡的D 是材料剛度矩陣，描述材料應力應變的斜率：

如果材料模型穩定，則需要這個材料剛度矩陣D 一直是正的（應力應變曲線的斜率是正的，向上的），因此矩陣D 必須滿足下麵條件:

Kirchhoff 應力在Ogden 模型中可以描寫為:

Radioss 的LAW42 和LAW69 中都會自動檢查Drücker stability 準則並且將檢查信息打印在*0000.out 輸出文件中以供參考。

比如當時有下面的Odgen 參數時:

Radioss 在*0000.out 中打印下面的信息：

對於Neo-Hookean模型由於C 10 >0  (μ 1 >0)，材料總是穩定的，所以無需檢查Drücker stability準。

對於Mooney-Rivlin模型，需要檢查Drücker stability準則，比如當C 01 或者μ 2 任意一個為負時會導致材料模型不穩定。

Yeoh 模型 [4] 在Radioss中可以用LAW94 材料卡片描述。Yeoh模型的應變能公式如下：

在LAW94中當考慮材料不可壓縮，且只有輸入C 10 和D1那麼Yeoh模型就簡化為了Neo-Hookean模型。

LAW94中的材料參數C 10 , C 20 , C 30 用於描述超彈性材料的變形，而參數D1, D2, D3是描述超彈性材料的體積壓縮能力。這些參數需要通過擬合試驗數據得到。

在Radioss工具手冊中的實例Example56中有一個Compose腳本可以幫助擬合，我們會在下週給大家專門講解Example56實例。

在Radioss 中LAW92 運用了Arruda-Boyce 模型[2]，不同於Ogden 模型，它是基於熱力統計學的模型。

第一部分應變偏量能運用了Arruda-Boyce 模型，它是假設8鏈的立方體，8個鏈從單元中心到各個頂點。

這裡C i 值是通過熱力統計學得出的常數

λ m 是用於定義材料的伸長極限值，也稱為鎖死應變（locking stretch），一般定義在應力應變曲線最陡的地方，通常這個λ m 值在7（LAW92中已經設定了λ m 的默認值是7）。

在Radioss中的LAW92既可以通過輸入μ，D，λ m  來定義材料的參數，也可以通過輸入工程應力應變曲線，此時卡片中輸入的參數μ，D，λ m  將被忽略，然後Radioss自動（用非線性最小二乘法）擬合出所需要的μ，D，λ m  參數。擬合出來的Arruda-Boyce模型參數將在*0000.out的輸出文件中打印。

在使用曲線輸入法時，還允許通過Itype 參數區分輸入曲線的試驗類型，這樣可以得到更加準確的擬合參數。可以選擇的試驗類型如下： 

Itype = 1: 單軸試驗數據

type = 2: 雙軸試驗數據

Itype = 3: 平面拉伸試驗數據

對於超彈性材料的試驗，通常我們通過單軸拉伸試驗擬合得到材料參數，但是簡單拉伸試驗中得到的材料參數有時也不一定能很好地用於模擬材料處於復雜的應力的狀態。所以還要做其他試驗來校驗材料參數，比如雙軸拉伸，體積試驗，平面剪切試驗等。

在使用不同試驗擬合參數是需要注意，各個方向的伸長率在假定材料不可壓縮時可以有以下關係：

更多的關於超彈性材料試驗的信息可以參見文獻[3]，

行業內相應標准或者國標

在使用超彈性材料時，對單元屬性的設置也有一定的要求。

比如實體單元最好是使用8節點六面體單元/BRICK ，如果幾何復雜不得不要考慮四面體單元，那麼/TETRA4 或者 /TETRA10 也都可以使用。

實體單元屬性推薦使用Ismstr=10, Icpre=1, 配合Isolid=24. 如果一定要有全積分的設置Isolid=17 那麼最好同時設置Iframe=2 以用於超彈性材料經常出現的超大變形。