【Radioss技巧】時間步長（Time Step）－Altair Taiwan Blog

上一期我們在講顯示和隱式積分法時，我們可以看到時間步長△t 在數值計算時比較重要的變數。尤其對於顯式積分法，需要時間步長儘量小，這樣數值計算的結果就越精確，當然時間步長越小需要的計算時間越長，選擇合適的時間步長能讓我們能很快的得到符合工程精度需要的類比結果。

那麼對於一個模型什麼樣的時間步長是合適的呢？我們需要選用的時間步長時必須小於臨界時間步長△t ≤ △tc。那這個臨界時間步長又是多少呢？本講就來為你詳細講解一下~

為使數值計算穩定，在顯示積分法中比如對於一個不考慮阻尼的系統，這個臨界時間步長應該是與系統的特徵頻率有關：

上面這個臨界時間步長的公式我們是從系統平衡方程中得來的。

比如在前面的顯式積分法中所用的簡單的無阻尼的例子來說，我們有

那麼上面的公式也換成下面的形式來表達：

那麼這個A矩陣對於這個無阻尼彈簧振子的例子來說就是：

然後計算這個A矩陣的特徵值我們得到：

在這個A矩陣的特徵值中如果根號裡面為負，那麼特徵值是虛數解。這個將導致了顯式積分法計算的不穩定。如果根號裡面等於0或大於0時，那麼特徵值是兩個實數解。這時顯式積分計算才是穩定的。即根號裡面滿足：

對於簡單的單質點彈簧振子我們都知道它的固有頻率是：

那麼用這個代入上面的公式我們就推導出：

在Radioss中我們對於所有單元採用一個時間步長，所以必須取一個滿足所有單元的時間步長，即：

所以我們將

稱為系統的臨界時間步長△tc。

假使對於一個一維線彈性的連續介質（比如杆單元TRUSS）來說，

那麼，

這個質量均分在構成單元的節點上，對於每一個節點上質量為

注意在這個例子中系統的固有頻率是

c是應力波擴散的速度，也可稱為聲音在固體中傳播的速度：

所以在這個例子裡臨界時間步長：

進而也可以說是：

他們的區別就是前面一個是描述離散點的所以用於Radioss中的節點時間步長控制，如/DT/NODA。而後一個是描述連續介質的所以用於Radioss中的單元時間步長控制。如/DT/BRICK， /DT/SHELL, /DT/AIRBAG， /DT/AMS等。

當然還有一些比如 /DT/INTER， /DT/THERM， /DT/GLOB 可以既可以用於節點時間步長又可以用於單元時間步長，具體根據實際情況使用。。

那麼Radioss對於不同的單元，選取也是不同的。我們將所選用的長度這裡稱為特徵長度。不同單元類型臨界時間步長的計算也是不同的。下面我們來大致匯總一下。

杆、彈簧、梁

殼單元

實體單元、接觸

這裡注意在實體單元中由於

當 v=0.5 時 K 和 c 就無窮大，那麼時間步長就會無窮小。所以對於不可壓縮材料不要取 v=0.5 而是取 v≤0.4995 就可以。

單元類型選擇和單元網格大小從上面的表格中看出對時間步長是有影響的。

Radioss中每一步使用的時間步長是程式內部計算的，那麼我們仍然可以通過一些方法來調整時間步長。

調整時間步長

一種方法是用一個取值0到1之間的比例因數△Tsca 乘以臨界時間步長來調整。它是用於考慮模型中出現的非線性問題。這個參數在Radioss中默認是0.9。對一些分析中甚至要用戶設置更小的值（比如0.66）。比如對於以下情況我們根據臨界時間步長應該設置相應的比例因數。

圖 I 所示的常見的鋼的應力應變圖顯示，在材料進入塑性階段後有效E模量是比最初的彈性階段的有效E模量小的，而且這個有效E模量也是漸漸變小的。所以臨界時間步長是變大的，這個時候我們一般不需要用比例因數來將時間步長變小。所以使用默認的0.9就完全可以滿足了。而圖 II 中顯示的有效E模量是漸漸變大，圖 III 中顯示有效E模量是在某一區域後突然變大的，（比如像泡沫橡膠等材料）這時臨界時間步長就會變小。那麼這時我們需要通過比例因數來進一步調小Radioss計算時使用的時間步長，以滿足數值計算的穩定性。

另一種方法是用Radioss中控制時間步長的卡片中用STOP，CST，DEL等選項來控制，即如果當前的時間步長到了用戶給定的最小時間步長那麼計算就終止（STOP），或就使用用戶給定的最小時間步長來繼續計算（CST），或將導致時間步長小於用戶給定的最小時間步長的單元刪除（DEL）。

當我們在節點時間控制（/DT/NODA）時使用了CST選項。那麼當模型計算過程中由於非線性原因導致臨界時間步長不斷變小，而Radioss實際使用的時間步長也跟著變小，當到達用戶設定的最小值後由於CST選項，時間步長就不會再變小，但是這樣下去會導致整個計算的不穩定，Radioss使用局部增加微小品質的方法，來將臨界時間步長增大，從而維護數值計算的穩定性。

那麼這個局部增加的品質可以通過使用/ANIM/MASS在HyperView中看出。但是我們也不能無限制讓Radioss的增加品質（通常局部品質增加不要加倍），也就是我們不能在CST中設定太大的最小時間步長。因為我們畢竟要保證在非線性動態數值分析中遵從品質守恆、能量守恆、動量守恆。增加品質這樣的數學上的解決方案也要符合實際物理問題（或者至少不能與時間物理情況相差太大）。不能因此增加太多的動能。否則數值計算的結果正確性會受影響。